Zo verdeel je de Zuid-Chinese zee (en taart) afgunstvrij

Het is zeer de vraag of de Amerikaanse president Donald Trump ze op de kaart kan aanwijzen, maar de Spratly eilanden zouden weleens de aanleiding kunnen worden voor een gewapend conflict tussen China en de Verenigde Staten. De Spratlys zijn een stel nietige koraaleilandjes, ongeveer midden in de oceaan tussen Vietnam, Maleisië en de Filippijnen. Het dichtstbijzijnde stukje China ligt tweeduizend kilometer verderop, maar volgens Beijing behoren deze eilandjes al eeuwen tot het Chinese rijk en dus zou heel deze oceaan hun binnenzee zijn, de Zuid-Chinese zee.

Dat zou onder meer betekenen dat alleen China daar mag vissen en naar olie boren. De claim staat bekend als de nine dash line (negen-streepjes-lijn), naar een kaart waarop het gebied met een grove stippellijn is ingetekend.

Taartsnijprobleem

Dit is een zeldzaam voorbeeld van een politiek probleem dat in principe een wiskundige oplossing heeft. Het staat bekend als het taartsnijprobleem (cake cutting problem). De naam is ontleend aan een voorbeeld dat iedereen kent, het verdelen van een taart of stuk snoep onder twee broertjes of zusjes. Om tussen Sanne en Ilja geruzie vooraf en eindeloos gedrein achteraf te voorkomen, moet Sanne de taart in tweeën snijden, terwijl ze weet dat Ilja als eerste een van beide stukken mag kiezen.

Deze procedure voldoet aan twee belangrijke eisen: hij is proportioneel en afgunstvrij. Proportioneel wil zeggen: beiden krijgen een stuk taart dat, volgens hun eigen inschatting, minstens de helft van de waarde vertegenwoordigt. Afgunstvrij (envy free) betekent, dat geen van beide een groter aandeel in de waarde van de taart kan verkrijgen door met een ander te ruilen. Afgunstvrij is de sterkere eis: als daaraan voldaan is, is de verdeling ook proportioneel.

Dit werkt ook voor een taart die niet homogeen is. Stel, één kant van de taart is bedekt met chocola, de andere kant met slagroom. Als Sanne meer van chocola houdt, maar Ilja meer van slagroom, en Sanne weet dat, dan snijdt ze de taart op de grens doormidden, en krijgen beiden een stuk dat ze als ruimschoots meer dan de halve taart waarderen.

Drie of meer partijen

Dit ‘snij en kies’-protocol is zelfs onderdeel van de Convention on the Law of the Sea. Maar hoe gaat dat als de taart onder drie of meer partijen verdeeld moet worden? Een afgunstvrije ‘snij en kies’-procedure voor drie partijen is al in 1960 gepubliceerd door wiskundigen John Selfridge en John Conway. Deze bestaat uit diverse rondes van snijden, kiezen, bijsnijden en weer kiezen. Tot voor kort, echter, was geen procedure bekend voor vier of meer partijen die gegarandeerd in een eindig aantal stappen tot een oplossing leidt.

Tot oktober 2016, want toen publiceerden Haris Aziz en Simon Mackenzie een baanbrekend artikel met een procedure die voor willekeurig veel partijen, in eindig veel stappen, een taart afgunstvrij verdeelt. Er is wel een probleempje: de procedure is hels ingewikkeld en het aantal stappen (snijden, kiezen, bijsnijden etcetera) is nogal groot. Al voor vier partijen kan dat oplopen tot maximaal 10⁸⁹⁰ stappen!

Wiskundigen zijn ook wel erg veeleisend: voor hen moet een procedure elke denkbare inhomogene cake, met elke denkbare voorkeur van N partijen – hoe vergezocht ook – met zekerheid in een eindig aantal keer snijden en kiezen afgunstvrij kunnen verdelen. Als je iets minder streng bent, bestaat er een heel elegante manier om een cake proportioneel (niet per se afgunstvrij) onder N partijen te verdelen.

Dat gaat met een bewegend mes: dit hangt loodrecht op de lengteas boven de taart, begint helemaal links, en schuift dan langzaam naar rechts terwijl iedereen toekijkt. Zodra iemand vindt dat links van het mes een stuk taart met voor hem 1/N-de deel van de waarde van de taart ligt, roept hij ‘stop’, en het mes snijdt dat stuk voor hem af. Vervolgens gaat de procedure verder met de overige partijen.

Een zee is geen taart

In het geval van de Zuid-Chinese zee is er echter nog een heel ander probleem: de zee is geen taart. In wezen is het taartsnijprobleem één-dimensionaal: het mes zweeft in één richting over de cake en snijdt die in rechte plakken. Een stuk zee is twee-dimensionaal. Weliswaar kun je elk stuk zee in gedachten opdelen in smalle stroken van, zeg, honderd meter breed, al die stroken achter elkaar leggen en dan heb je weer een – heel lange – taart. Maar als je die gaat verdelen met zo’n taartsnijprotocol, krijgt elke partij een zeer gefragmenteerd stuk zee toegewezen dat over het algemeen niet aan de eigen kust ligt.

Als je weer afziet van ‘afgunstvrij’, en genoegen neemt met proportioneel, is ook daar een oplossing voor. Al in 1990 bedacht William Webb een procedure waarmee N landen rond een stuk zee elk precies 1/N-de deel van de totale waarde van de zee verkrijgen, in een stuk dat aan de eigen kust ligt. Ook dit is een verdeling die rekening houdt met individuele wensen; het ene land wil bijvoorbeeld graag goede visgronden hebben, terwijl het andere land meer prijs stelt op potentiële oliewinning in een ander deel.

De procedure komt neer op veel rondes geven en nemen tussen alle landen. Eerst mag een land een stuk zee afgrenzen dat volgens zijn eigen criteria waarde 1/N heeft. Een tweede land die dat stuk te groot vindt, mag daar een stuk afhalen. Een derde land dat vindt dat er dan te weinig overblijft, plakt daar weer een – volgens eigen criteria – voldoende groot stuk aan vast, en zo gaat dat vele rondes lang door. Webb bewees dat deze procedure gegarandeerd eindigt met een toestand waarin alle landen volgens de eigen criteria 1/N van de totale waarde aan zee bezitten.

In theorie bestaat er dus wiskundig gereedschap om de Zuid-Chinese zee tussen vier of vijf landen rechtvaardig te verdelen, rekening houdend met ieders voorkeuren. Het veel grotere probleem is natuurlijk, dat met name China de gelijkwaardigheid van de betrokken partijen niet aanvaardt. In alle bovengenoemde protocollen erkent elk van de N partijen dat ze recht hebben op 1/N van het geheel. Maar zelfs ‘snij en kies’ met twee partijen werkt niet als Ilja simpelweg claimt dat hij recht heeft op driekwart van de taart.