Welk wiskundeboek past in de schoen?

Reisgids door het spiegelpaleis

Iedereen heeft een intuïtief idee van symmetrie, en voelt ook aan dat er meerdere types van bestaan. De letter M, een WK-2014 voetbal, het yin-en-yang teken, het behang in de slaapkamer: ze hebben allemaal op hun eigen manier iets symmetrisch, maar wat precies? Hoeveel soorten zijn er, en hoe onderscheid je ze?

Jan van de Craats, emeritus-hoogleraar wiskunde, bekent dat hij een passie heeft voor symmetrie, en schreef daarover het gelijknamige Epsilon-boekje. De Epsilon-reeks behandelt wiskundige onderwerpen op middelbare schoolniveau, met een didactische benadering, zodat ze ook bruikbaar zijn voor leraren in hun lessen of als inspiratiebron. Niettemin zijn sommige delen ook voor lezers met een recreatieve interesse in wiskunde zeer de moeite waard.

Wat is symmetrie? Volgens Van de Craats is dat alles wat je achter een gordijn aan een voorwerp of patroon kunt veranderen (draaien, spiegelen, verschuiven), zonder dat de kijker verandering ziet wanneer je het gordijn weer open doet. Opmerkelijk is, dat er maar een heel beperkt aantal verschillende symmetrieën bestaat, de volledige lijst past op een half A4tje. Zo zijn er maar 17 wezenlijk verschillende behangpatronen.

Van de Craats neemt je als lezer mee op een systematische verkenningstocht door dit mathematische ecosysteem, waarbij je als een soort veldbioloog symmetrieën leert classificeren, onder meer in de beroemde tegelpatronen van het Alhambra in Granada en andere, meest islamitische monumenten. Die krijgen dan codes als [s(n),2,2] of [sx], maar rekenen komt er niet of nauwelijks aan te pas, het draait allemaal om visueel inzicht.

Symmetrie is overal in de natuur: veel levende wezens vertonen een vorm van symmetrie, net als de moleculen die de bouwstenen van het leven vormen. Ook vaste stoffen zijn veelal opgebouwd uit kristallen met kenmerkende symmetrie-eigenschappen. Verder laten natuurkundigen zich in hun zoektocht naar nieuwe natuurwetten vaak leiden door abstracte symmetrieën in hun formules.

Van de Craats laat dit alles resoluut buiten beschouwing; hij beperkt zich tot visuele patronen en hun wiskundige classificatie. Die beperking heeft het voordeel dat hij het onderwerp volledig kan behandelen, en wie alle oefenopgaven maakt, weet er op het eind bijna net zo veel van als Van de Craats zelf. Daarmee is dit boekje een sympathieke, zeer toegankelijke handleiding die vooral interessant is voor echte wiskundeliefhebbers.

De essentie van de wiskunde

Amsterdam University Press timmert dit jaar aan de weg met Elementaire Deeltjes, een serie identiek vormgegeven, bondige introducties tot onderwerpen als ‘Management’, ‘Psychologie’ of ‘Terrorisme’. Het is nogal een uitdaging om zulke brede onderwerpen in één klein formaat boekje van hondervijftig pagina’s te persen. De serie is een Nederlandse versie van de serie A Very Short Introduction van Oxford University Press, waarvan al ruim vierhonderd delen verschenen zijn. Menig Deeltje is een rechtstreekse vertaling van het Engelse equivalent, zo ook Wiskunde.

Wiskunde is geschreven door Timothy Gowers, die in 1998 de Fields medaille won, voor wiskundigen de evenknie van de Nobelprijs. Het is interessant om te zien hoe zijn aanpak afwijkt van andere populariserende boeken over dit onderwerp, die veelal door buitenstaanders zijn geschreven. Ook Gowers loopt een aantal voorbeelden van redelijk toegankelijke wiskunde af, zoals priemgetallen, de stelling van Pythagoras en de wiskundige betekenis van ‘dimensie’, met een uitstapje naar fractals.

Maar de grote lijn in zijn betoog is, dat hij ons duidelijk wil maken hoe een wiskundige denkt, wat de wiskundige invalshoek voor problemen is. Daarom wijdt hij zonder gène een heel hoofdstuk aan ‘Bewijzen’ en aan ‘Schattingen en benaderingen’, onderwerpen die elke popularisator als te saai zou afwijzen. Opmerkelijk is ook, dat hij voor het uitleggen van wiskunde aan een breder publiek, juist pleit voor méér abstractie. Al klinkt dit paradoxaal, volgens hem kan dit juist bijdragen aan een beter begrip voor wat wiskunde eigenlijk is, en maakt het de zaken soms juist eenvoudiger.

Dit betekent zeker niet, dat Gowers zich verschuilt in abstracties, of nalaat de dingen simpel te zeggen waar dit simpel kan. Zo heb ik nog nergens zo’n heldere uitleg gezien van ‘Het vermoeden van Poincaré’, dat gaat over driedimensionale oppervlakken in een vierdimensionale ruimte. Dit was een van de fameuze, onopgeloste Millennium problemen waarvoor het Clay Mathematics Institute elk een miljoen dollar heeft uitgeloofd.
Maar wat Gower niet kon weten, omdat hij dit boekje al schreef in 2002, was dat de geniale, maar zonderlinge Russische wiskundige Grigory Perelman nog datzelfde jaar het bewijs van dit vermoeden zou leveren (waarna hij de miljoen dollar weigerde en in de anonimiteit verdween). Dit was destijds wereldnieuws.

Het is een blamage dat de uitgever Gowers’ twaalf jaar oude tekst blijkbaar niet heeft laten nalopen en waar nodig actualiseren. Zelfs een corrector is er niet aan te pas gekomen, zo lijkt het, want op onder meer pagina 50 staan in een paar formules zeven evidente zetfouten, en op twee plaatsen wordt de lezer doorverwezen naar ‘pagina XX’.

Dat neemt niet weg dat Gowers er knap in geslaagd is om een introductie te geven tot de kunde van de wiskundige, vrijwel zonder te leunen op hapklare, ‘sexy’ wiskunde die we al kennen uit eerdere populariserende boeken over dit onderwerp.