Verstilde schoonheid

Een grap begrijp je of je begrijpt hem niet; bijna iedereen beseft dat je een grap niet moet uitleggen. Iemand die een grap snapt, barst uit in een bevrijdende lach. De tempelbezoeker aan wie een sangaku zijn geheim prijsgeeft, ervaart een ander soort verlichting, die het beste in gewijde stilte wordt genoten.

Meditatie

Al vanaf de 17^e eeuw werden sangaku’s op houten tabletten geschreven en opgehangen in Japanse tempels. Meestal bestaat het diagram slechts uit een paar elementaire meetkundige figuren: cirkels, rechthoeken en driehoeken. Eerst moet je zien te ontdekken welke meetkundige stelling de sangaku uitbeeldt. Vervolgens bewijs je die. Het is het mathematische equivalent van meditatie.

Het boekje Sangaku’s doet iets wat strikt genomen breekt met deze traditie, want het is een handreiking om ze te ontraadselen. Auteurs Hans Van Lint en Jeanne Breeman delen sangaku’s op in zeven categorieën, al naar gelang de meetkundige stelling die je kunt gebruiken om ze te bewijzen. Zo zijn er sangaku’s die oplosbaar zijn met de bissectricestelling, en sangaku’s die leunen op de stelling van Menelaos. Hun aanpak is degelijk, schools, en peinst niet over concessies aan de tablet-generatie. De eerste hoofdstukken staan vol met stellingen als: “In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van zijn projectie op de schuine zijde en de schuine zijde zelf.” Het duurde even voor ik het voor me zag; een tekeningetje was hier welkom geweest.

Tenslotte is er nog een hoofdstuk ‘Gemengde opgaven’ waarin de inmiddels goed beslagen lezer zelf met sangaku’s aan de slag kan. Het boekje maakt deel uit van de Zebra-reeks over wiskunde, die vooral bedoeld is voor wiskundeleraren en hun meest enthousiaste leerlingen.

Verslaafd

Schrijver dezes dient hier te bekennen dat hij een tijdje verslaafd geweest is aan het ontwerpen van sangaku’s. Je krijgt er al snel handigheid in, zodat een avondje puzzelen meestal wel een diagram oplevert waarin, bijvoorbeeld, een halve cirkel dezelfde oppervlakte heeft als een driehoek zonder dat je direct ziet hoe dit komt. Maar: de meeste van die sangaku’s zijn niet mooi, het zijn gewrongen samenraapsels van vierkanten en driehoeken met vergezochte verbindingslijnen. Een mooie sangaku vind je niet, die vindt jou.

Sangaku’s zwijgt, wellicht wijselijk, over de vraag waar het uiteindelijk om gaat: waarom is de ene sangaku mooier dan de andere? En is die esthetische waardering puur persoonlijk, zoals bij abstracte kunst, of valt er nog intersubjectief over te twisten? Daar lijkt het wel op. De auteurs hebben een van mijn sangaku’s geselecteerd voor dit boek, en die vind ik zelf ook m’n mooiste.

Een mooie sangaku straalt noodzakelijkheid uit. Met een minimum aan verschillende elementen, die je op de schijnbaar meest voor de hand liggende manier samenbrengt, ontstaat een compacte structuur die tot een onafwendbare slotsom leidt. En je wilt dat ook het bewijs compact is, niet een redenering van 17 stappen waar je vier hulpstellingen bij nodig hebt.

De meeste sangaku’s in ‘Gemengde opgaven’ zijn door de auteurs zelf ontworpen. Er zitten fraaie exemplaren bij, en minder fraaie, al blijft zo’n oordeel natuurlijk heel subjectief. Echt uit den boze is, vind ik, een sangaku die alleen maar klopt als je een vrije parameter vastlegt. Dat geldt bijvoorbeeld voor sangaku 40; daar zijn twee cirkeloppervlakken alleen aan elkaar gelijk als de verhouding basis:hoogte van een driehoek 3:2 is. Maar die verhouding volgt niet uit het diagram zelf, die moet worden aangegeven met maatstreepjes. Dat is, net als een sangaku die niet zonder tekst kan, heiligschennis.

Ook sangaku 26 slaat de plank mis. Die beeldt geen meetkundige eigenschap van de figuren uit, maar de numerieke relatie 13²-12²=5². Dat is hier gedaan met cirkelsegmenten, maar dat hadden net zo goed hele cirkels kunnen zijn, of vierkanten, of welke set gelijkvormige figuren dan ook.

Dit is echter slechts gemopper van een liefhebber, wat onverlet laat dat Sangaku’s een zeer bruikbaar boekje is voor wie zich in deze klassieke traditie wil verdiepen.