Intuïtief knutselen, vastlopen en dan de aha-ervaring

Wat gebeurt er in het brein van een wiskundige die broedt op nieuwe stellingen of algoritmes? Hoe verschilt zulk denken van de manier waarop andere mensen denken? Of is er eigenlijk niet zo veel verschil? Een antropoloog doet een interessante poging om het ‘exacte’ denken te doorgronden, maar levert wel een ‘merkwaardig product’ af.

20 november 2015

Iedereen die wel eens iets met wiskunde heeft gedaan dat buiten de middelbare schoolstof valt, heeft ervaren dat wiskunde doen allerminst een rechtlijnig, stap-voor-stap- proces is dat van probleem naar oplossing werkt. Integendeel. Zelf iets ontdekken in de wiskunde is net zo’n creatief en onvoorspelbaar proces als schilderen of muziek maken. In die zin kennen waarschijnlijk alle potentiële lezers van het boek Denken wiskundigen wel zo exact? het antwoord op de titelvraag al, namelijk: nee.

Maar hoe denken wiskundigen dan wel? Ton Langendorff is van origine cultureel antropoloog, maar bracht zijn werkzame leven door als ambtenaar en beleidsmedewerker op het ministerie van OCW en op een aantal technische universiteiten. Naar eigen zeggen ontbreekt het hem aan talent voor wiskunde, maar als antropoloog raakte hij gefascineerd door de wiskundigen waar hij in de praktijk mee te maken kreeg.

Na zijn pensionering nam Langendorff zich voor hun denken in kaart te brengen. Welke rol speelt visueel denken? Hoe maken ze gebruik van analogieën? Gebeurt het echte denkwerk alleen, of juist in samenspraak met anderen? In hoeverre gaan wiskundigen af op hun intuïtie, en hoe betrouwbaar is die?

Knutselen

Het beeld dat uit gesprekken met wiskundigen en de relevante literatuur opduikt is consistent: een wiskunde-artikel zoals dat in een wetenschappelijk tijdschrift verschijnt, geeft een volkomen onjuiste indruk van hoe onderzoek in de praktijk gebeurt.

Langendorff onderscheidt daarin vier stadia: voorbereiding, incubatieperiode, verlichting en verificatie. In het eerste stadium is onderzoek doen een kwestie van het probleem aftasten, vrij willekeurig dingen uitproberen, ‘knutselen’. In stadium twee lijkt de wiskundige vastgelopen; het probleem is niet opgelost en hij of zij heeft geen nieuwe ideeën meer.

Als het goed is, volgt later – en dat kan jaren later zijn – een aha-moment, meestal als de wiskundige iets heel anders aan het doen is: een flits van inzicht die de weg wijst naar de oplossing. Die intuïtieve oplossing moet dan nog wel terdege geverifiëerd worden, want ook intuïtie kan bedriegelijk zijn. Pas helemaal aan het eind van de verificatie-fase komt er iets op papier wat lijkt op het wetenschappelijke artikel zoals dat uiteindelijk gepubliceerd zal worden.

Terecht merkt Langendorff op, dat de schoolwiskunde vooral geënt is op fase vier, de verificatie, terwijl de eerdere, meer interessante fases er op school bekaaid af komen, wat mogelijk voor een deel verklaart waarom zo veel leerlingen een afkeer van dit vak hebben. Overigens geldt dat voor hedendaagse lesmethodes al een stuk minder dan voor de schoolwiskunde van weleer.

Geanonimiseerde gesprekken

Dit boek is het verslag van een interessant en ambitieus project, maar gezegd moet worden dat Langendorff – om in wiskundeterminologie te blijven – een ‘merkwaardig product’ heeft afgeleverd.

Het boek bestaat uit beschouwende en anekdotische stukken, afgewisseld met gespreksverslagen die zo te zien vrij letterlijk in het boek terechtgekomen zijn. Die gesprekken voerde hij in groepen van vier, met twaalf hoogleraren wiskunde aan de drie technische universiteiten die Nederland rijk is. Hun namen staan voor in het boek, maar de gespreksverslagen zelf zijn geanonimiseerd: je kunt alleen zien of Langendorff, dan wel een hoogleraar aan het woord is. Je weet dus niet wie op wie reageert en welke citaten bij dezelfde persoon horen, een hinderlijk format waarvoor de auteur geen rechtvaardiging geeft.

Ook komen in de beschouwende stukken en, in mindere mate, in de gesprekken veel herhalingen voor, wat op den duur echt storend wordt. Zo herhaalt Langendorff tientallen malen dat veel wiskundigen vooral visueel denken, en ook de vergelijking tussen het eerste stadium van wiskundig onderzoek en knutselen komt telkens weer terug. Een strenge maar rechtvaardige redacteur had dit boek ongeveer een derde korter gemaakt, waarbij het aan samenhang en zeggingskracht gewonnen had.

Volledige inductie

De wiskunde wordt over het algemeen adequaat beschreven, al laat Langendorff ook hier een paar steken vallen. De formule van Euler (die een verband legt tussen het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken) geldt niet slechts voor regelmatige, maar voor alle veelvlakken, en Allan Turing vond niet ‘een computer’ uit: hij bedacht het principe van de universele rekenmachine waar alle latere computers onvermijdelijk op gebaseerd zijn. Vreemd is ook, dat hij schijnt te denken dat het principe van volledige inductie geen echte bewijzen oplevert, maar slechts plausibele veronderstellingen. En dan is er nog de rare uitglijder, dat hij de ontdekking van de penicilline aan Louis Pasteur toeschrijft.

Voor welke lezers zou dit boek bedoeld zijn? Het thema is in principe geschikt voor een breed publiek, en laat zich ook met heel toegankelijke anecdotes over de eigenaardigheden van wiskundigen en hun werkwijze illustreren. Dat doet Langendorff inderdaad, maar hij wil blijkbaar méér: je verdenkt hem ervan dat hij aanvankelijk een proefschrift over het denken van de wiskundige heeft willen schrijven, maar halverwege inzag dat dit te ambitieus was.

Dat maakt het boek ongeschikt voor lezers die vooral smakelijke, licht verteerbare kost opgediend willen krijgen. Maar academici en echte liefhebbers die al een goed gevulde boekenkast over wiskunde en wetenschapsfilosofie hebben, zullen ook Langendorffs werk wel aan hun collectie toe willen voegen.

Reageer