Hokjesdenken voor gevorderden

Voor zover bekend was Erwin Raisz in 1934 de eerste die een rechthoekig cartogram gebruikte om data te visualiseren. Hij maakte toen een plaatje van de bevolking van de Verenigde Staten, waarbij elk hokje het bevolkingsaantal in een staat voorstelde. De grootte van het hokje gaf het inwoneraantal in miljoenen aan.

De geografische kaart van de Verenigde Staten is er nog wel in te herkennen: Californië ligt helemaal in het westen, New York in het oosten, en Florida in het zuid-oosten. Raisz puzzelde zijn cartogram met de hand in elkaar, maar hoe goed was zijn oplossing? Wat ís eigenlijk een goede oplossing? En als je dat ondubbelzinnig kan omschrijven, kun je dan een computer automatisch cartogrammen laten maken, met als input een landkaart en een setje data?

Droge humor

Dat is een van de kwesties die Bettina Speckmann, hoogleraar toegepaste geometrische algoritmes aan de TU Eindhoven, de afgelopen jaren heeft uitgezocht. Zij gaf de plenaire openingslezing op de Nationale Wiskunde Dagen (NWD), begin februari. Voor een zaal met honderden wiskundeleraren en wiskundigen, lardeerde Speckmann haar lezing met droge humor. Zo vertelde ze, dat ze in 2009 met dit onderwerp ook al op de NWD was, maar dan in een parallelsessie. “Toen hadden we nog helemaal niet door hoe de wiskundige structuur van die dingen is. Nu snappen we dat wel – en dan mag ik de plenaire lezing geven.”

Cartogrammen moet je niet verwarren met ingekleurde landkaarten, waarbij niet de oppervlakte, maar de kleur van een gebied de informatie moet overbrengen. Zulke ingekleurde kaarten wekken vaak verwarring. “Mensen integreren altijd de kleur over de oppervlakte.” De wiskundige term ‘integreren’ betekent hier, dat mensen onbewust letten op de totale hoeveelheid van een kleur, terwijl die in een ingekleurde landkaart vaak irrelevant is.

Een voorbeeld is het bekende kaartje met de uitslag, per staat, van de presidentsverkiezing van 2012 in de VS. De geografische kaart is ingekleurd met rood (de Republikeinse kandidaat won) of blauw (de Democraat won), en maakt niet duidelijk waarom Barack Obama gewonnen heeft. De kaart is immers overwegend rood.
Pas als je de oppervlakte van elke staat evenredig maakt aan het aantal kiesmannen dat zo’n staat levert voor de formele stemming, zie je dat een flinke meerderheid ‘blauw’ stemde.

Een cartogram hoeft niet uit rechthoeken te bestaan, maar volgens Speckmann heeft zo’n simpele standaardvorm voordelen. “Mensen weten meteen dat je niet naar een echte kaart kijkt, en de oppervlakte van rechthoeken is goed in te schatten.”

Goede en slechte voorbeelden

Bij het maken van een rechthoekig cartogram is de keuzevrijheid enorm, maar je wilt natuurlijk, dat het resultaat nog te herkennen is als een kaart van een bepaald gebied. Dat leidt tot een paar criteria die voldoende conreet zijn om in een computerprogramma te zetten. Uiteraard moeten de rechthoeken de juiste oppervlakte hebben (voor het gegeven dat je wilt laten zien). Buren moeten buren blijven. De relatieve posities van de rechthoeken moeten ongeveer correct zijn. En, tot slot, de lengte-breedte verhouding mag niet te groot zijn.

Wiskundig gezien is dit een probleem met vlakke grafen, waar al veel theorie over bekend is. Een graaf is, simpel gezegd, een netwerk van knooppunten. Een graaf kan van alles voorstellen (wiskundigen zeggen: ‘een graaf kan duaal zijn met’): treinstations en de spoorverbindingen daartussen, een familie met hun verwantschapsrelaties, of een setje getallen die al of niet een gemeenschappelijke deler hebben.

In het geval van de cartogrammen komt elk knooppunt overeen met een land of gebied, en een verbinding tussen twee knooppunten geeft aan dat die twee gebieden buren zijn. Verder heeft elke knoop een ‘gewicht’, de grootheid die je met je cartogram wilt weergeven. Voor een echte kaart is het gewicht gelijk aan de landoppervlakte, maar het kan dus ook het aantal inwoners zijn, of de export in miljarden euro’s, of het aantal gevallen van griep in dat gebied.

Het is meteen duidelijk, dat niet elke graaf te transformeren is tot een rechthoekig cartogram. Als een land wordt ingesloten door drie buren, kun je dit onmogelijk voorstellen met rechthoeken zonder buren van elkaar te scheiden. Zo kun je alleen rechthoekige cartogrammen van de Europese Unie maken, door Luxemburg weg te moffelen in België.

Ook zijn er combinaties van gewichten van naburige landen, die je niet met rechthoeken kunt weergeven zonder de buurrelaties aan te tasten (zie de illustratie hierboven). Als je zulke struikelblokken uitsluit, of toelaat dat je een beetje schippert met de buurrelaties, dan is het aantal mogelijke cartogrammen gigantisch.

Onoverzichtelijk veel

Onderzoek van Speckman en anderen toonde aan, dat het aantal mogelijke cartogrammen, afhankelijk van het aantal knooppunten n, tussen 3ⁿ en 4,68ⁿ ligt. Voor de Europese Unie, met 27 landen, is dat al een astronomisch aantal. Speckmann liet ooit een computer cartogrammen van de Europese Unie maken om het exacte aantal te achterhalen, maar dat was onbegonnen werk. “Na drie weken zijn we gestopt met tellen.” De teller stond toen op 1,3 miljard. Voor de hele wereld, met circa tweehonderd landen, is de situatie nog veel onoverzichtelijker.

Hoe vind je in die enorme variatie het beste cartogram? Je wilt natuurlijk, dat alle landen zoveel mogelijk op hun plek blijven en zoveel mogelijk de echte vorm benaderen. Dus Noorwegen toon je liever niet als vierkant, en Duitsland niet als een lange strook. Ook wil je, dat Noorwegen en Duitsland zoveel mogelijk de juiste onderlinge afstand hebben, en dat hun verbindingslijn ongeveer noordnoord-west loopt, net als in het echt. Daar zijn getalsmatige criteria voor te formuleren. Vaak kun je die flink verbeteren, als je afwijkingen van een paar procent in de oppervlakte toelaat. Een rechthoek die twee of drie procent kleiner is dan zou moeten, valt visueel immers niet op. Terwijl dat net voldoende kan zijn om de puzzel in elkaar te passen.

Cartogrammen kunnen je helpen om zaken in het juiste perspectief te zien. Zo spelen Nederlandse politici, als het om Europese politiek gaat, nogal eens de Calimero-kaart: ‘wij zijn maar zo klein in Europa, Nederland kan op eigen houtje niks veranderen’. Maar kijk nu eens naar het formaat van Nederland in Europa als het gaat om de waarde van de export: