Het geheim van de gulden snede

De gulden snede duikt op allerlei onverwachte plaatsen op, zoals in de architectuur, bij de lengte van je vingerkootjes, bij bloemkolen en filmsterren. Lees hieronder wat de gulden snede is, en hoe je zelf de gulden snede kunt ontdekken, maar ook dat we er ook weer niet te magisch over moeten denken: het is maar een van vele patronen die we in de natuur kunnen terugvinden.

23 juni 2007

Wereld van Vormen

Vanaf 23 september kunnen jong en oud in Science Center NEMO ontdekken welke rol wiskunde speelt in de wereld om ons heen in de nieuwe tentoonstelling “”. De tentoonstelling gaat over wat leuk en interessant is aan wiskunde, voor mensen met of zonder wiskundeknobbel. Tot en met eind oktober kunnen kinderen zelf vormen ontdekken in de wereld om hen heen en deze opsturen aan NEMO. De inzender van de mooiste vondst maakt kans op een ballonvaart, zwevend over de vormen en patronen van Nederland. Lees meer over de tentoonstelling en de wedstrijd

Een kind speelt in een museum met een patronenspiegel. — NEMO

De gulden snede is een stukje eeuwenoude raadselachtige wiskunde. De gulden snede of ‘Divina Proportia’ (goddelijke proportie) kort men af met de Griekse letter Φ (spreek uit: ‘Fie’).

Het getal geeft een speciale verhouding van lijnstukken aan: stel dat je twee lijnen hebt van lengte a en b, dan voldoen deze aan de gulden snede als de gezamenlijke lengte van de lijnen zich verhoudt tot a op dezelfde manier dat a zich verhoudt tot b.

Met andere woorden: als (a+b)/a gelijk is aan a/b, dan is de uitkomst van die breuk precies de gulden snede. De verhouding geeft de gulden snede haar Engelse naam: The Golden Ratio.

De Griekse wijsgeer Euclides beschreef als eerste het getal Φ, maar men gebruikte de gulden snede waarschijnlijk al eerder. De oude Egyptenaren bouwden hun piramides op basis van de gulden snede. Ook in het Parthenon, een tempel ter ere van de godin Athena, kun je Φ terugvinden.

Φ is ook op andere plaatsen te ontdekken: bijvoorbeeld in de verhouding tussen de lengte van het middelste botje in je vinger tot het langste botje en het kortste botje. Ook in het hartslagpatroon – zichtbaar gemaakt op een ECG – is tussen de hartslagen de verhouding van Φ terug te vinden. In de vroege middeleeuwen bedacht Fibonacci het antwoord op de vraag waarom deze verhouding zo vaak terug te vinden is.

De piramides van Gizeh in Egypte. — Sommige onderzoekers denken dat de beroemde piramides van de oude Egyptenaren zijn gebouwd op basis van het getal Φ.
Ricardo Liberato via CC BY-SA 2.0

Vreemde rij

In 1202 publiceerde Leonardo Fibonacci een bijzondere rij getallen: elk getal van de rij (behalve de eerste twee) is gelijk aan de som van de twee voorgaande getallen. Dat levert de volgende rij getallen op: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, enzovoorts. De Fibonacci-reeks zit vol met eigenaardigheden, zoals elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de reeks is deelbaar door elf (probeer maar eens). Om de zestig getallen herhaalt het laatste cijfer, bijvoorbeeld het tweede getal is 1, het tweeënzestigste getal in de reeks eindigt op een 1 (….4052739537881), het 122ste getal in de reeks eindigt op een ….. 1 (…..14028366653498915298923761), etcetera.

De Fibonacci-reeks komt in de natuur op allerlei onverwachte plaatsen voor. Als je bijvoorbeeld goed kijk naar de verdeling van de zonnebloemzaden in een zonnebloem, kun je spiralen zien waarvan sommige met de klok meedraaien en sommige tegen de klok in lopen. De grootte van de zonnebloem bepaalt het aantal spiralen. Meestal tel je 34 spiralen die de ene kant op wijzen en (je raadt het al) 55 die de andere kant op wijzen. Bestudeer eens een bloemkool van de bovenkant. Als je goed kijkt, kun je hier ook een spiralenpatroon zien (meestal 5 met de klok mee en 8 tegen de klok in). Ook de rangschikking van blaadjes rond de stengel van een plant volgt vaak de beroemde reeks. De blaadjes zitten niet allemaal aan dezelfde kant van een stengel, maar staan spiraalsgewijs om de stengel. Het aantal blaadjes per omloop volgt de Fibonacci-reeks, bijvoorbeeld per omwenteling om de stam staan twee blaadjes ½ of acht blaadjes per drie omwentelingen.

Een bij zit in het midden van een zonnebloem. — Wikimedia Commons, Wouter Hagens via CC BY-SA 3.0

De zaden in een zonnebloem zijn volgens een patroon gerangschikt dat de Fibonacci-reeks volgt.

Het oog van God

Bekijk onderstaande figuur eens. De verhouding van de zijdes van de grootste rechthoek is precies de gulden snede. De op één na kleinste rechthoek begint op de langste zijden van de grootste rechthoek en je raadt het al, de verhouding van de deellijn bedraagt Φ. Op deze manier worden steeds kleinere rechthoeken getekend met de verhouding Φ. Deze verkleining gaat tot in het oneindige door. Vervolgens is van elke rechthoek de diagonaal getekend. Zoals je ziet, snijden de diagonalen elkaar in hetzelfde punt. De wiskundige Pickover stelde voor dit snijpunt van diagonalen het ‘Oog van God’ te noemen.

Pixabay, 964140 via CC0 (bewerkte afbeelding)

Het snijpunt van de diagonalen van alle rechthoeken werd in de renaissance het ‘Oog van God’ genoemd. De rechthoeken verkleinen zich volgens Φ.
Bron: TJ

Wonderlijke spiraal

Deze logaritmische spiraal komt in de natuur veelvuldig voor. Deze wonderlijke spiraal (Spiralis Mirabilis) wordt ook wel de Spiraal van Archimedes genoemd. Archimedes was helemaal gebiologeerd door spiralen en schreef er zelfs een compleet boek over. Veel slakkenhuizen zijn volgens dit patroon opgebouwd. Ook de hoorns van bijvoorbeeld een ram volgen dit patroon, maar ook sterrenstelsels. Uit figuur 5 blijkt dat de Spiralis Mirabilis rechtstreeks uit Φ is afgeleid. Kunstenaars maken veelvuldig van de spiraal gebruik. In de krullen van Leda, op het schilderij Leda en de zwaan van Leonardo da Vinci kun je ook de Spira mirabilis vinden.

Uit de verkleiningsreeks van deze rechthoeken volgens de verhouding Φ komt ook een spiraal.

Schilderkunst

De gulden snede komt dus veelvuldig voor in de natuur. Maar het belang van het getal is volgens sommigen nog veel groter. Zo was er de Italiaan Pacioli (1445- 1517) – een wiskundige kloosterling – die dacht dat schilderijen realistischer werden als de schilder de wetten van de wiskunde gehoorzaamt. Diepte in een schilderij, de verdeling van ruimtelijke vlakken over het linnen, liggen volgens Pacioli allemaal vast in wiskundige verhoudingen zoals Φ. Hij schreef drie boeken (bekend onder de naam ‘De Divina Proportione’) waarin hij de schilderkunst tot wiskundige figuren en vergelijkingen probeerde terug te brengen. Pacioli’s ideeën worden ook in recente tijden nog gebruikt: de abstracte kunst met gekleurde vlakken en lijnen van Mondriaan gebruikt bewust dan wel onbewust de gulden snede.

Muziek en Fibonacci

Ook andere kunsten zien de gulden snede langskomen. De muziekkunst kan bijvoorbeeld niet zonder de beroemde Fibonacci-reeks. De opbouw van de pianotoetsen volgt de reeks. Een octaaf op een piano wordt gespeeld met 8 witte toetsen en 5 zwarte, in totaal dus 13 toetsen. De zwarte toetsen zijn verdeeld in twee en drie. Dus de Fibonacci-reeks: 2, 3, 5, 8, 13! Volgens sommigen te ver gezocht en gewoon toeval, maar anderen geloven er heilig in. Componisten zoals Bartók en Debussy hebben de Fibonacci-reeks (bewust of onbewust?) in hun werk verstopt.

Vitruviaanse figuur getekend door Leonardo da Vinci.

Uiterlijk

Niet alleen in de kunst kom je Φ tegen, ook menselijke schoonheid volgt de wetten van de gulden snede. In het menselijke gezicht vind je allerlei verhoudingen die de gulden snede benaderen. Bijvoorbeeld de verhouding van de lengte van je neus tot de breedte. Of de afstand tussen je ogen tot de totale breedte van je gezicht. Misschien verklaart het aantal gulden sneden die in het gezicht voorkomen, of iemand knap is of niet. Dus als je wilt weten of je een knappe vriend of vriendin aan de haak hebt geslagen, moet je op zoek naar de gulden snede in zijn of haar gezicht!

Dit gaat natuurlijk ver. Kan je iemands schoonheid kwantificeren, in een aantal gulden sneden uitdrukken? nee dat kan niet. Het is wel zo dat een verregaande symmetrie in het gezicht meestal aantrekkelijker is, en die symmetrie hangt mogelijk samen met de gulden snede. Er is veel onderzoek gedaan naar gezichtsverhoudingen en aantrekkelijkheid, maar elk onderzoek heeft andere resultaten: onomstotelijk bewijs dat een gulden gezicht beter is, is er dus niet.

Goddelijk?

De gulden snede bemoeit zich met natuur, muziek, schilderkunst en zelfs de menselijke schoonheid. Hoe kan het dat zo’n vreemd getal, bij benadering 1,62, zo een grote rol speelt? Daarover hebben wiskundigen, filosofen en kunstenaars lange tijd hun hoofd gebroken. In de Middeleeuwen en Renaissance was het een godsbewijs: dat zonnebloemen, mensen en muziek voldeden aan één en dezelfde regel, dat moest haast wel komen doordat god alles schiep met een vooropgezet plan. Zelfs nu gebruiken sommige creationisten – die evolutie afwijzen als verklaring voor het ontstaan van leven en de ontwikkeling van soorten – het argument nog.

De wetenschap heeft nog geen goede verklaring waarom de Fibonacci-reeks en gulden snede zo vaak bij planten en bloemen voorkomen. Eén van de verklaringen is dat deze verhoudingen de efficiëntste manier zijn om te groeien: met de minste energie zo groot mogelijk worden. Het zou verklaren waarom planten zo vaak dezelfde verhouding tonen. Waarom het dan precies de gulden snede is, waarin de bloemen zich verhouden, dat is lastiger uit te leggen.

Er is een andere, ietwat teleurstellende verklaring: toeval. Er zijn inderdaad veel dingen in de natuur die de gulden snede volgen, maar het is niet dé regel van de natuur. Voor elke bloem die de Fibonacci-reeks volgt, zijn er honderden die dat niet doen. Die misschien wel andere, minder bekende patronen volgen. Aangezien wetenschappers al eeuwenlang bezig zijn met de gulden snede en deze ook actief opzoeken in de natuur, treedt er een ‘confirmation bias’ op: het fenomeen dat je bewijs vindt voor datgene waar je naar zoekt. Je onthoudt de gevallen waar phi een rol speelt en vergeet de gevallen waar het niet zo was, of waar de benadering van de gulden snede minder sterk is. Zo kan een beeld ontstaat dat het getal óveral voorkomt, terwijl de realiteit anders is.

Deze lijn visualiseert de betekenis van Φ in de meetkunde. De verhouding van de lijnstukken AC/BC is gelijk aan de verhouding van de lijnstukken AB/AC.

Ten slotte een manier om zelf de gulden snede te ontdekken, en te kijken wat je er allemaal mee kan.

Het wiskundige probleem waar Euclidus mee stoeide is weergegeven in bovenstaande figuur. Als we een rechte lijn in twee stukken willen verdelen, hoe lang moeten de lijnstukken zijn om ervoor te zorgen dat de verhouding tussen het grootste lijnstuk (AC) en het kleinste lijnstuk (BC) gelijk is aan de verhouding tussen het gehele deel (AB) en het grootste lijnstuk (AC)? Een wiskundige zou de vraag als volgt opschrijven: waar ligt punt C op de lijn AB zodat geldt: AC/BC = AB/AC? Stel dat de lengte van lijnstuk BC gelijk is aan 1 en die van AC gelijk aan x. We weten dat AC/BC = AB/AC, dus invullen levert op: x / 1 = (x + 1) / x. Kruiselings vermenigvuldigen levert op: x² = x + 1, oftewel x² – x – 1 = 0. Deze kwadratische vergelijking is eenvoudig met behulp van de abc-formule op te lossen. Er zijn twee oplossingen: x₁ = (1 + √5)/2 en x₂ = (1 – √5)/2. Even narekenen op het rekenapparaatje en je zult zien dat x₁ het getal 1,618 oplevert! De waarde x₂ is negatief, dus deze voldoet niet als lengte van een lijnstuk. Hiermee hebben we met eenvoudige wiskunde het bewijs geleverd voor het bestaan van Φ. Lijnstuk AC is dus 1,618… keer zo lang als lijnstuk BC. En lijnstuk AB is 1,618… keer zo lang als lijnstuk AC. Lijnstuk AC is dus 1,618 en wordt aangeduid met de Griekse letter Φ.

Tik het getal van Φ nog eens in je rekenmachine in (dus: 1,6180339887); bereken vervolgens het kwadraat (x² op je calculator) en daarna de reciproke waarde (de 1/x knop op je calculator). Wat valt je op? Als je het goed gedaan hebt, veranderen de cijfers achter de komma niet, alleen het getal voor de komma.