Naar de content

Gekleurde dobbelstenen snap je beter

Boekrecensie ‘Toeval is altijd logisch’

Diacritica CC A-S A 3.0

Dat het toeval gehoorzaamt aan wiskundige wetten, is een relatief recent, zeventiende eeuws idee. Steven Tijms beschrijft in een boek gedetailleerd de vroege geschiedenis van de kansrekening, behandelt daarna moderne voorbeelden, en laat ook zien hoe dat vaak mis gaat.

29 januari 2019

Meetkunde en algebra zijn duizenden jaren oud en de Oude Grieken bereikten daarin al een hoog niveau. Maar tot een paar honderd jaar geleden kwam niemand op het idee, dat je aan de worpen van een dobbelsteen, het verloop van een kaartspel of de grilligheden van grote groepen mensen net zo goed kunt rekenen als aan parabolen en kwadratische vergelijkingen. Dat roept de vraag op of we ook nu nog fundamenteel nieuwe toepassingen van de wiskunde compleet over het hoofd zien.

Uit de klassieke oudheid is ons geen enkel werk over kansrekening bekend (maar er is ongetwijfeld veel verloren gegaan). In de Middeleeuwen kwam men voor zover bekend niet verder dan simpele overwegingen over worpen met meerdere dobbelstenen tegelijk, wat in veel dobbelspelen voorkomt.

Valkuilen

Steven Tijms, die zowel wiskunde als klassieke talen studeerde, wijdt de eerste helft van zijn boek onder de titel ‘De geboorte van de kansrekening’ aan een vrij gedetailleerde beschrijving van die eerste prille verkenningen. En dan blijkt, dat ook in de simpelste kansprocessen valkuilen zitten waar zelfs grote wiskundigen toen nog in trapten. Tijms citeert de beroemde Duitse filosoof en wiskundige Leibniz, die in 1715 schreef dat je met twee dobbelstenen net zo makkelijk 11 als 12 gooit, want beide uitkomsten zouden maar op een manier te gooien zijn: respectievelijk als 5;6 en als 6;6. Terwijl, bijvoorbeeld, 7 ogen op meerdere manieren gegooid kan worden, als 1;6 of 2;5 of 3;4.

In feite is de kans op 11 ogen twee keer zo groot als op 12 ogen. Waarom? Omdat je 5;6 en 6;5 apart moet meetellen. Maar als zelfs een Leibniz zich daarin vergist, verbaast het niet dat veel mensen daar nu nog steeds moeite mee hebben. Tijms heeft wel een handige tip bij dit soort kansraadseltjes: stel je voor dat de dobbelstenen (of munten, of andere toevalsgeneratoren) allemaal een verschillende kleur hebben. Dan zie je makkelijk in dat Rood 5; Blauw 6 een andere worp is dan Rood 6; Blauw 5, terwijl 12 ogen echt maar op een manier kan, met Rood 6; Blauw 6.

Als je de kans wilt bepalen op het gooien van een bepaald aantal ogen met meerdere dobbelstenen, helpt het om je verschillend gekleurde dobbelstenen voor te stellen. Dan zie je in, dat de worp 6;5 echt verschillend is van de worp 5;6.

Diacritica CC A-S A 3.0

Pas in de zeventiende eeuw formuleerden Blaise Pascal en Christiaan Huygens de eerste algemene grondbeginselen van de kansrekening. Tijms besteedt tientallen pagina’s aan een historische reconstructie van het tot stand komen van het moderne begrip ‘kans’, wat in dit genre boek misschien wat te veel van het goede is. Bovendien, als leek raak je eerder in verwarring door deze historische dwaalwegen en uitwijdingen. Tegenwoordig, met wijsheid achteraf, weten we een stuk beter hoe we de principes van de kansrekening helder en compact uiteen kunnen zetten.

Twee keer de hoofdprijs

In het tweede deel, dat merkwaardigerwijs dezelfde titel heeft als het hele boek, behandelt Tijms moderne kwesties waar kansrekening verhelderend werkt. Zoals ‘voorspellende’ dromen en het ‘ongelooflijke’ feit dat er mensen zijn die twee keer de hoofdprijs in een loterij wonnen.

Serieuzere kwesties zijn de statistische dwaling waardoor Bill Gates dacht dat kleine scholen beter zijn dan grote, zodat hij daar veel geld in pompte. Of neem de haken en ogen van diagnostische tests, met hun vals positieve en vals negatieve uitslagen die zowel de patiënt als de arts op het verkeerde been kunnen zetten.

En ook de beruchte prosecutor’s fallacy ontbreekt niet. Dit is een meestal door de aanklager in strafzaken gebruikte drogredenering, waardoor ‘vaag’ bewijsmateriaal – de dader was iemand in een blauwe auto – voor de verdachte, die een blauwe auto heeft, veel belastender lijkt dan gerechtvaardigd is.

Tijms bespreekt de prosecutor’s fallacy aan de hand van de rechtszaak tegen O.J. Simpson, die zijn ex-vrouw en haar vriend vermoordde, maar werd vrijgesproken. Dit kwam mede doordat de verdediging de prosecutor’s fallacy inzette om de jury wijs te maken, dat eerdere mishandeling door een ex vrijwel niets zegt over de kans dat die ex dan ook de latere moord op zijn geweten heeft – wat niet waar is.

Louter toeval?

Dit wordt allemaal adequaat beschreven door Tijms. Daarom is het jammer dat hij een in Nederland nog veel geruchtmakender zaak, die tegen verpleegkundige Lucia de Berk, afdoet in een zin. De Berk werd eerst tot levenslang veroordeeld wegens zes moorden, maar uiteindelijk vrijgesproken. Zelfs dat er moorden (op ernstig zieke kinderen en bejaarden) zouden zijn gepleegd werd tenslotte niet bewezen verklaard. Over de kans dat De Berk ‘bij toeval’ bij al die zes incidenten aanwezig was zijn statistici en juristen elkaar jarenlang in de haren gevlogen.

Verpleegkundige Lucia de Berk werd jaren na dato beschuldigd van moord op zes patiënten op de intensive care van een Haags ziekenhuis. Aanvankelijk was het bewijs statistisch: de kans dat zij toevallig bij zoveel onverwachte overlijdensgevallen dienst had, zou 1 op 300 miljoen zijn. Later ontkenden de rechters die haar in hoger beroep veroordeelden, dat kansrekening een rol speelde bij haar schuldig verklaring. Bij de herziening van de zaak werd weerlegd dat er überhaupt een moord had plaatsgevonden, en werd ze volledig vrijgesproken. Tijms noemt dit als voorbeeld van hoe we veel te snel denken ‘dit kan geen toeval meer zijn’.

Wellcome Images CCA 4.0

Als Tijms de statistische valkuilen bij deze rechtszaak helder uiteengezet had, had dat zijn boek boven andere in dit genre uitgetild. Immers, de onderwerpen die hij nu in de tweede helft van ‘Toeval is altijd logisch’ behandelt, behoren tot het standaardrepertoire, die je in diverse andere populair-wetenschappelijke boeken ook kunt vinden. Maar een heldere en toch diepgravende beschouwing over de statistiek rond de zaak Lucia de Berk ben ik in dit genre nog niet tegengekomen.

Niettemin, voor de lezer die nog behoorlijk blanco is wat betreft kansrekening en statistiek, is dit een prettig leesbare, vakkundig geschreven inleiding in het onderwerp.

Steven Tijms, ‘Toeval is altijd logisch’, uitgeverij Vesuvius, 218 blz., 19,95 euro.

ReactiesReageer