Een paar tips voor de Wetenschapsquiz 2017

In de Nationale Wetenschapsquiz van dit jaar zitten twee wiskundige of logische puzzels, opgaves 5 en 7.

Tip voor opgave 5:

Er liggen zes stoeptegels op een rij. Onder een van deze tegels zit een pissebed. Je weet niet onder welke, maar je weet wel dat het beestje elke nacht willekeurig één plek opschuift naar links of rechts. Elke dag mag je onder één tegel kijken. Als je de tegels optimaal kiest, hoeveel dagen heb je dan maximaal nodig om aan te wijzen onder welke tegel de pissebed zit?

a) 6 dagen

b) 8 dagen

c) 10 dagen

Kan dat eigenlijk wel, een pissebed die iedere nacht beweegt, betrappen door per dag slechts één tegel op te lichten? Het gaat hier dus niet om zo goed mogelijk gokken, maar een strategie waarbij je moet aannemen dat je altijd mis gokt, totdat je zeker weet waar de pissebed zit.

Als je met zes tegels eens wat probeert, en dan ziet hoe weinig je te weten komt door slechts die ene tegel op te lichten, kan het onbegonnen werk lijken. Dan kennen wiskundige en logische vraagstukken altijd een goed principe: maak het probleem eerst zo klein dat het makkelijk is, en probeer het dan uit te breiden.

We beginnen dus met twee tegels. Hoe vaak moet je een tegel lichten om de pissebed te localiseren? Maar één keer, uiteraard. Je neemt aan dat je de eerste keer mis gokt, maar dan weet je meteen dat de pissebed onder de andere tegel zit.

Hoe zit het met drie tegels? Ook dan hoef je maar één tegel te lichten, maar je weet pas op dag 2 waar de pissebed zit. Je kijkt namelijk onder de middelste tegel. Aangenomen dat hij daar niet zit, zit hij links of rechts, en dus zit hij op dag 2 onder de middelste tegel (let wel: de pissebed mag niet stil blijven zitten, iets wat hem bij meer dan drie tegels ook funest zal worden).

Bij vier tegels wordt het al lastiger. Wegens de symmetrie zijn er eigenlijk maar twee mogelijkheden voor je eerste tegel, een buitentegel of een binnentegel. Omdat het lichten van de middelste tegel eerder goed werkte, lichten we nu een binnentegel, en we moeten natuurlijk weer aannemen dat de pissebed daar niet onder zit.

In de afbeelding hieronder is dat de bovenste rij tegels. In de tweede rij geven de vraagtekens aan, onder welke tegels een pissebed op dag 2 gekropen kan zijn.

Je moet nu bedenken, welke tegel je in die tweede rij moet lichten, om ervoor te zorgen dat de pissebed op dag 3, in de derde rij, alleen nog onder de twee tegels met een vraagteken gekropen kan zijn.

Als je dat voor mekaar hebt, ben je vrijwel klaar. De pissebed kan nog maar onder twee tegels zitten. Als je nu de goede tegel licht, kan de pissebed op dag 4 onder nog maar één tegel zitten.

Na de training met twee, drie en vier tegels lukt het je waarschijnlijk ook wel om het vraagstuk met vijf en zes tegels op te lossen. En dan heb je zelfs een methode gevonden, om een pissebed onder een willekeurig lange rij tegels te vangen.

Tip voor opgave 7:

De familie Jansen woont sinds kort bij jou in de buurt. Als je twee willekeurige kinderen van het echtpaar Jansen tegenkomt, is de kans 50 procent dat ze allebei blauwe ogen hebben. Hoeveel kinderen heeft dit gezin?

a) Drie kinderen

b) Vier kinderen

c) Vijf kinderen

Op het eerste gezicht heb je te weinig gegevens om tot een eenduidig antwoord te komen, zo lijkt het. Immers, de kans dat je twee blauwogigen tegenkomt, hangt zowel af van het totale aantal kinderen in het gezin Jansen, als van het aantal blauwogige kinderen. Dus instinctief denk je, dat die kans 50% kan zijn in allerlei gezinsgroottes. De grap is hier echter, dat die kans exact 50 procent moet zijn. En omdat aantallen kinderen altijd gehele getallen zijn, heeft dit vraagstuk toch een uniek antwoord.

Hoe vind je dat? De aantallen in a), b) en c) zijn zo klein, dat je gewoon alle mogelijkheden uit kunt proberen. In een gezin met drie kinderen is de kans op twee blauwogigen 0 procent als er geen of maar een blauwogige is, en 100 procent als ze alledrie blauwe ogen hebben. Dus je hoeft alleen het geval te bekijken van een gezin met drie kinderen waarvan er twee blauwe ogen hebben. Hoe je die kans uitrekent zeggen we hier niet voor, maar dat is niet zo moeilijk.

In het gezin met vier kinderen hoef je alleen de gevallen te bekijken dat er twee of drie blauwogigen zijn, en zo verder voor het gezin met vijf kinderen. Echt bewijzen dat de oplossing uniek is, is minder simpel, maar dat hoeft niet voor de quiz. Succes!