De wiskunde van...mazelen

In de wiskunde van… proberen we eens in de zoveel tijd de wiskunde achter de wereld te zien. In de eerste aflevering: mazelen. Onlangs overleed er voor het eerst sinds jaren iemand aan deze kinderziekte. Hoe voorkom je dat er slachtoffers vallen en een epidemie uitbreekt? Met wiskunde, natuurlijk.

15 november 2013

Er ontstaat eens in de zoveel tijd paniek: de mazelen breken weer uit. Regelmatig gebeurt dit in de Biblebelt, een reep van Nederland waar veel strenge christenen wonen. Een deel van de Biblebelt is tegen het inenten van hun kinderen, waardoor deze vatbaar blijven voor de mazelen. Maar hoe zit het eigenlijk? Hoeveel mensen moeten zich niet inenten voordat mazelen een echt gevaar voor de volksgezondheid wordt?

Dat hangt helemaal van de ziekte af. Om precies te zijn, van hoe besmettelijk die ziekte is. Mensen die zich bezig houden met besmettingswetenschappen, epidemiologen, proberen die besmettelijkheid te achterhalen en vervolgens uit te rekenen wat er moet gebeuren.

Besmettingsgetal

De besmettelijkheid duiden epidemiologen aan met een getal dat ze R ₀ (spreek uit als “er-nul”) noemen. Het is het gemiddeld aantal mensen dat door een ziek iemand besmet wordt. Hoe hoger dit getal, hoe besmettelijker een ziekte is en hoe groter de kans op een uitbraak als de ziekte een gebied binnen komt. Als R ₀ onder de 1 ligt, vormt een aandoening geen gevaar op een epidemie. Alles boven de 1 heeft de aandacht.

Mazelen is een erg besmettelijke ziekte; elke zieke besmet gemiddeld 20 anderen. Omdat het zo besmettelijk is, is het ook lastig om een massale uitbraak te stoppen. ‘Daarvoor heb je overal een hoog percentage gevaccineerden nodig,’ vertelt Hans Heesterbeek, hoogleraar theoretische epidemiologie van de Universiteit Utrecht. ‘95 procent is gewenst; dan is de kans dat de mazelen zich massaal uitbreiden heel klein.’

Als vaccineren niet lukt

De meeste inentingsprogramma’s zijn succesvol; men doet er dusdanig massaal aan mee dat epidemieën voorkomen worden. Maar wat nou als de vaccinatiegraad veel te laag ligt, zoals bijvoorbeeld bij het vaccin tegen baarmoederhalskanker? Zelfs dan kan een vaccin een effect hebben; het verstoort immers alsnog de balans tussen potentieel zieken en mensen die immuun zijn. Stel dat een deel, q, van de bevolking zich wel in laat enten. Dan ontstaat er een variant van R ₀ die we R _q noemen, en te berekenen is met de formule R _q = R ₀ (1-q). Dit is dan het gemiddelde aantal nieuwe besmettingen dat elke besmette persoon maakt, gegeven dat een deel q immuun is. Als R _q < 1 is kan de ziekten niet verspreiden. Normaal gesproken is het dus wenselijk om q > 1-1/R ₀ te hebben. We bereiken dan zogenaamde “kudde-immuniteit”, de niet-gevaccineerden zijn beschermd door de “kudde” van gevaccineerden die hen omringen. Deze vuistregel geldt als de niet-gevaccineerden goed gemengd zijn met de wel-gevaccineerden. Dat laatste is in Nederland niet het geval in de Bible belt.

Naast R ₀ zijn er nog twee getallen belangrijk bij ziektes: de gemiddelde leeftijd waarop iemand een ziekte krijgt, en de gemiddelde leeftijd die een lid van de bevolking bereikt. Deze twee cijfers, A en L, hangen samen met R ₀ in de formule R ₀ = L/A. Als we aannemen dat de gemiddelde leeftijd niet verandert, willen we een nieuwe gemiddelde infectieleeftijd berekenen A _q. Dat doen we als volgt: R _q = L/A _q, dus A _q = L/R _q, en we weten wat R _q is, dus A _q = L/R ₀ (1-q). Maar R ₀ is L/A, en als je dat vervangt krijg je uiteindelijk A _q = A/(1-q).

Omdat 1-q altijd kleiner of gelijk is aan 1, betekent dit dat A _q groter is dan A. Conclusie: door vaccinatie komt gemiddelde infectieleeftijd hoger te liggen! Dat kan een probleem veroorzaken als de symptomen en bijwerkingen van een ziekte afhangen van de leeftijd waarop je de ziekte krijgt.

Zo is een belangrijke complicatie bij zwangerschap gerelateerd aan rode hond besmetting. Het is dus zaak meisjes in te enten voordat ze de vruchtbare leeftijd bereiken. Door vaccinatie stijgt de besmettingsleeftijd en kan die hoger worden dan die vruchtbare leeftijd. Als je dan een te lage vaccinatiegraad hebt kun je zelfs meer gevallen van die complicatie krijgen dan je zou verwachten zonder te vaccineren! Dit effect is waargenomen in Griekenland.

Meer informatie over het modelleren van epidemieën kan je hier vinden.

Die 95 procent halen we in Nederland gemiddeld net; het overgrote deel van de kinderen is ingeënt. ‘Maar in de Biblebelt zakt het in sommige gebieden tot 80 procent. Dan is er een risico, wat afgelopen zomer weer duidelijk werd.’ Het probleem is vooral dat een geconcentreerde groep niet ingeënt is. ‘Al die kinderen gaan naar dezelfde scholen, sportverenigingen enzovoort. Daardoor kunnen de mazelen zich snel verspreiden.’

Antroposofen

Er zijn meer mensen, ook buiten de Biblebelt, die niet voor inenting kiezen. Antroposofen staan bijvoorbeeld ook kritisch tegenover prikken, maar hun kinderen leven meestal in gebieden waar de rest wel ingeënt is, waardoor ze een veel minder groot risico vormen.

Een andere ziekte waarvoor jaarlijks een vaccin wordt uitgedeeld is griep. Dat is een veel minder besmettelijke ziekte; slechts 2 mensen raken gemiddeld besmet door elke zieke. Daarom zou een dekkingsgraad van 50 procent genoeg zijn. Omdat griep echter snel muteert en daardoor het vaccin geen bescherming meer geeft, worden er toch regelmatig mensen getroffen. ‘Vooral bij nieuwe, snel verspreidende griepvirussen is dat een probleem. Denk aan de Mexicaanse griep; daar werden veel mensen ziek van.’

Eén van de belangrijkste bijdragen aan het besmettingsgetal is de tijd dat iemand besmettelijk is voordat hij of zij ziekteverschijnselen krijgt. Griep is gemiddeld één dag voordat er symptomen opduiken al besmettelijk. Daarna worden mensen ziek en neemt de kans op besmetting af, omdat de zieke dan meestal thuis blijft en minder contact heeft met mensen. Hoe langer iemand geen symptomen vertoont, maar wel al besmettelijk is, hoe makkelijker de ziekte kan verspreiden. Daarom moeten epidemiologen altijd op hun hoede blijven, en is het onwaarschijnlijk dat hun werk ooit af is. ‘Er zullen altijd nieuwe mutaties opduiken die gevaarlijk zijn, en nieuwe ziekteverwekkers die van dieren overspringen naar de mens,’ aldus Heesterbeek.

Virus in dieren

AIDS veroorzaakt door HIV begon ooit in chimpansees. Het virus dat SARS veroorzaakte bleek afkomstig te zijn van vleermuizen en ook MERS, het nieuwste aandachtspunt voor epidemiologen, lijkt afkomstig van dieren, wellicht kamelen. Epidemiologen zouden dan ook graag meer onderzoek doen naar virussen bij met name wilde dieren, maar het kost veel en is ook nooit volledig te doen. ‘Dergelijk onderzoek kost veel en levert voor preventie van nieuwe ziekten uiteindelijk te weinig op omdat je niet weet waar en waar naar je moet zoeken,’ aldus Heesterbeek.

Ondertussen leren epidemiologen wel elke dag iets nieuws. Hoe meer virussen ze ontdekken, of ze nou gevaarlijk zijn of niet, er valt altijd iets van te leren. ‘In die zin is elk virus een mooie kans. Zelfs na 100 jaar virusonderzoek neemt de kennis van epidemiologen nog steeds toe.’ En niet alleen door nieuwe ziektes; ook door maatschappelijke veranderingen. De komst van goedkope, commerciële luchtvaart zorgde ervoor dat alle modellen herzien dienden te worden. Immers, een besmet iemand kan zonder enige moeite zijn besmetting naar een heel ander continent meenemen.

In ieder geval zullen de viruswiskundigen dergelijke verandering blijven volgen en berekenen. Om uiteindelijk, samen met beleidsmakers en virologen, de bevolking veilig te houden.