De jongste topsporter in de wiskunde

Bij de BxMO, de Benelux Mathematical Olympiad voor middelbare scholieren, haalde Levi van de Pol de beste score van het Nederlandse team, en de derde score van de Benelux. Dat is des te opmerkelijker omdat hij pas 13 is. De tweedeklasser van het Ichtus College in Veenendaal wordt waarschijnlijk ook geselecteerd voor het Nederlands team dat naar de International Mathematical Olympiad gaat in Thailand.

15 mei 2015

Levi van de Pol was al een beetje een bekende Nederlander door zijn optreden bij De Wereld Draait Door in april. Toen werd een opgave van een wiskundewedstrijd voor 14-jarigen in Singapore een wereldwijde hype. Het was een logisch raadseltje, waarbij je moest bepalen op welk dag ene Cheryl jarig was. Presentator Matthijs van Nieuwkerk zat – al of niet voor de bühne – met de handen in het haar en haalde een paar kandidaatleden van het team van de Nederlandse Wiskunde Olympiade naar de studio om het raadsel op te lossen. Levi loste het onderweg in de auto naar Hilversum moeiteloos op, wat Van Nieuwkerk maar nauwelijks leek te kunnen geloven.

Veel trainen

Vanwege zijn prestatie bij de Benelux Wiskunde Olympiade spreek ik Levi via Skype. Hij zit thuis in Veenendaal. “Dat raadseltje was véél makkelijker dan een Olympiade-opgave”, aldus Levi. Mensen denken vaak dat wiskundig inzicht alleen maar een mysterieus talent is, iets waarvoor zou gelden ‘je hebt het, of je hebt het niet’. Maar olympiadedeelnemers zijn te vergelijken met jonge schaakspelers of jeugdvoetballers in de A1: talent is een vereiste, maar zonder doorzettingsvermogen en veel trainen kom je nergens.

Net als de overige kandidaat-olympiërs is Levi dagelijks met wiskunde bezig, en onder leiding van coach Quintijn Puite trainen ze ook gezamenlijk. “Ik oefen elke dag twee à drie uur”, schat Levi. “En ik denk dat de anderen ongeveer net zo veel trainen.”

De Benelux Olympiade was maar een tussenstap op weg naar het einddoel: de International Mathematical Olympiad (IMO). Deze wordt elk jaar in een ander land gehouden en is het onbetwiste jeugdwereldkampioenschap wiskunde. Wereldberoemde wiskundigen als Terence Tao of Grigori Perelman begonnen ooit hun carrière met het winnen van de IMO.

Het Nederlandse team eindigt meestal als verdienstelijke middenmoter. Opvallend is dat Aziatische landen als China, Singapore, Korea en Taiwan domineren in de top. Voor die landen is hoog scoren bij de IMO een zaak van nationale trots, zodat de selectie en training van talenten er op een hoog niveau staan. Er zijn nu nog twaalf scholieren die hopen op selectie voor het zeskoppige Nederlands team dat in juli naar Chang Mai in Thailand afreist. De definitieve selectie wordt over twee weken bekend gemaakt. Aangezien Levi bij de Benelux Olympiade de beste Nederlander was, lijkt hij een goede kans te maken om straks mee te gaan naar Thailand.

Correct en volledig

Een olympiadewedstrijd bestaat uit een stuk of vier zeer pittige wiskunde-opgaven, waarvoor de kandidaten een paar uur de tijd hebben. Slechts de allerbesten lukt het om alle vier de opgaven volledig op te lossen. Meestal gaat het daarbij niet alleen om het goede antwoord, maar moet je ook bewijzen dat je antwoord correct en volledig is.

Levi scoorde de volle zeven punten voor de eerste twee opgaven, en vier punten voor de derde, die over priemgetallen ging. Trainen en veel oefenopgaven maken, scherpt niet alleen je wiskundig inzicht, maar met een beetje geluk komt een olympiade-opgave je ook bekend voor. Levi: “Zo’n soort opgave had ik al eens in het wiskundeblad Pythagoras zien staan, dus de eerste twee onderdelen had ik heel snel opgelost.” Pythagoras houdt er een eigen olympiade op na; in elke aflevering staan breinbrekers op bijna-olympiadeniveau. Door die opgaven op te lossen en in te sturen, kan een scholier zich kwalificeren voor de finale van de Nederlandse Wiskunde Olympiade, buiten de voorrondes via de scholen om.

Ingeving

Als voorbeeld hoe je een olympiade-opgave aanpakt, staat opgave 3 uitgelegd in het kader hieronder. Voor het derde deel van de oplossing is echt een ingeving nodig, en in dit geval vond Levi die niet, zodat hij niet de volle 7 punten scoorde.

Met uitzondering van beeldende vorming en gym, is Levi goed in alle schoolvakken. Een klas overslaan had gekund, maar daar heeft hij niet voor gekozen. Wel doet hij volgend jaar al VWO eindexamen wiskunde, en gaat vervolgens universitaire vakken wiskunde volgen. Daarnaast heeft hij nog een passie: pianospelen. Dus hij wil ook proberen om aangenomen te worden op het conservatorium. Wordt dat na het VWO geen moeilijke keuze, tussen de studie wiskunde en het conservatorium? Levi: “Dan doe ik wel allebei.”

Hoe los je een olympiade-opgave op?

(Een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf, het heeft dus geen echte delers. Bijvoorbeeld: 3,5 en 7 zijn priemgetallen, 8 en 9 zijn dat niet.)

Opgave 3 van de Benelux Wiskunde Olympiade.

Bestaat er een priemgetal waarvan de decimale voorstelling van de vorm 3811 . . . 11 is (met andere woorden: bestaande uit een 3 en een 8 in deze volgorde, gevolgd door één of meer cijfers 1)?

Oplossing

Als het gaat over ‘deelbaarheid’, is het altijd handig om een paar bekende vuistregels in gedachten te houden. Een vuistregeltje dat je op school leert: als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 3, is het hele getal deelbaar door 3, dus is het geen priemgetal. Dit geldt voor alle getallen 381….1 met één, vier, zeven, tien, ….. cijfers 1 op het eind.

Nu komt het ook aan op ‘proefwerkhandigheid’: de vraag is of er wel of niet een priemgetal van de vorm 381…1 bestaat, maar je hebt al bewezen dat een op de drie van al deze – oneindig vele – getallen geen priemgetal is. De beste gok is dan, dat je kunt bewijzen dat de overige getallen 381….1 evenmin priemgetal zijn.

Zo valt de opgave bijna vanzelf in drie delen uiteen:
I) getallen 381…1 met één, vier, zeven, tien, …. cijfers 1 op het eind (deelbaar door 3, geen priemgetal)
II) getallen 381…1 met twee, vijf, acht, elf,….. cijfers 1 op het eind
III) getallen 381…1 met drie, zes, negen, twaalf,…..cijfers 1 op het eind

Voor I) is het al bewezen.

II) is iets ingewikkelder. Vaak begin je bij zulke opgaven met een paar simpele voorbeelden door te rekenen. Is 3811 priem? Nee, de kleinste deler is 37. Zou het volgende getal, 3.811.111, ook deelbaar zijn door 37? Inderdaad, dit is 37 × 103.003. Is er misschien een reden te vinden waarom alle getallen in II) deelbaar zijn door 37?
3.811.111 = 3.811.000 + 111 = 3811 × 1000 + 111. Aha! Zowel 3811 (dus ook 3.811.000) als 111 zijn deelbaar door 37. Het beslissende inzicht: getallen van die vorm blijven deelbaar door 37 als je er ‘111’ achter plakt:
3.811.111.111 = 3.811. x 1000 + 111.000 + 111. Alle termen zijn weer deelbaar door 37, dus het getal als geheel ook. Zo kun je doorgaan, alle getallen II) zijn deelbaar door 37, dus geen priemgetal.

III) Dit is het onderdeel waar je echt een ingeving moet krijgen, zoiets is nauwelijks te trainen. Deze ingeving is: vermenigvuldig de getallen in deze categorie met 9:
9 × 38.111= 342.999 ; 9 × 38.111.111 = 342.999.999 ; 9 × 38.111.111.111 = 342.999.999.999

Al deze getallen eindigen op een of meer blokjes van drie cijfers 9. Dus zijn ze allemaal van de vorm 343.000…..(een of meer blokjes van drie nullen) – 1. Nu moet je iets opvallen wat wel te trainen is: 343 is een derdemacht, namelijk 7³. Als je zulke opgaven veel doet, ken je alle kwadraten en derdemachten onder de duizend wel zo’n beetje uit je hoofd. Omdat 343 wordt gevolgd door een of meer blokjes van drie nullen, zijn al deze getallen van de vorm: (7 × 10^k)³ – 1. Vervolgens moet je ook nog paraat hebben – ook dat is een kwestie van training – dat a³-1 deelbaar is door a-1, want (a³-1)/(a-1) = a² + a + 1. Hieruit volgt dat al deze getallen deelbaar zijn door 7 × 10^k -1. Dit getal is zeker groter dan 9. Dus ook de getallen in III) die we aan het begin vermenigvuldigden met 9, zijn deelbaar door een getal groter dan 9/9. Conclusie: alle getallen in III) zijn deelbaar door een getal groter dan 1, dus zijn geen priemgetal.

Zo is tenslotte bewezen, dat geen van de getallen 3811…… een priemgetal is.

De opgaven, oplossingen en het klassement van de Benelux olympiade.

Reageer