De grondlegger van de topologie inspireert nog steeds

Rubbermeetkunde

Toen had hij een paar baanbrekende stellingen bewezen in de topologie, de tak van wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van objecten in een ruimte van twee, drie of meer dimensies, ongeacht hoe je ze vervormt. Daarom noemt men de topologie ook wel rubbermeetkunde. Voor een topoloog is een cirkel hetzelfde als een vierkant, want je kunt de één elastisch vervormen tot de ander. Hetzelfde geldt voor een donut (torus) en een koffiekopje (die hebben allebei één gat), of een bol en een kubus (geen gaten). Maar zonder knippen kun je van een bol geen torus maken.

Rond 1910 ontdekte Brouwer zijn fameuze dekpuntstelling (zie afbeelding Onvolmaakt roeren), die tot de paradoxale conclusie leidt, dat je met roeren in een kopje nooit alle vloeistof tegelijk van zijn plaats krijgt. Kort daarna bewees hij een algemene eigenschap van stromingspatronen op boloppervlakken, die onder meer impliceert, dat het altijd ergens op aarde perfect windstil moet zijn! (zie afbeelding Volmaakte windstilte)

Brouwer bestreed de geldigheid van dit ‘bewijs uit het ongerijmde’ als het over oneindige verzamelingen van wiskundige objecten gaat. En dat is al snel het geval: elke eigenschap van de natuurlijke getallen (1,2,3,4,……) die je bewijst, gaat over oneindig veel getallen. Ook Hilberts stellingen gingen over de oneindige verzameling van alle mogelijke krommen (‘kromme’ is de naam voor elke mogelijke formule die je kunt weergeven als een lijn in een grafiek). Brouwer viel de wet van de uitgesloten derde al in 1908 aan, toen hij nog onbekend was, maar pas na zijn topologische prestaties begon dit standpunt de aandacht te trekken.

Hilbers ontdekkingen zijn te gecompliceerd om hier uiteen te zetten, maar een veel simpeler, klassiek voorbeeld hoe je iets bewijst over oneindige verzamelingen, is het diagonaalargument van Georg Cantor (zie kader Diagonaal denken). Daarmee toonde hij aan, dat er verschillende graden van oneindigheid bestaan. Zo is ‘aftelbaar oneindig’ een lagere graad van oneindigheid dan ‘overaftelbaar oneindig’. Tot die laatste categorie behoren de reële getallen, dus alle getallen met (eventueel oneindig veel) decimalen achter de komma.

Veldman: “De kwestie die Brouwer obsedeerde was: hoe moeten we denken en zinvol spreken over een overaftelbare verzameling, zoals de verzameling van de reële getallen.” In Brouwers intuïtionistische opvatting van de wiskunde moet een existentiebewijs constructief zijn: het moet een recept bevatten om het ding waarvan je het bestaan wilt bewijzen, ook echt te vinden. Veldman: “Het diagonaal-argument is helemaal constructief, daar had Brouwer geen moeite mee.” Immers, Cantor geeft een recept om het getal te vinden dat je nodig hebt om het bewijs rond te maken. Hilberts stellingen doen dat niet, die bewijzen slechts dat een bepaald object ‘niet-niet’ bestaat.

Constructief

Het intuïtionisme van Brouwer is veeleisend: allerlei algemeen geaccepteerde bewijzen in de wiskunde zijn zonder de wet van de uitgesloten derde niet meer geldig. Die moeten ‘constructief’ over gedaan worden, wat doorgaans veel moeilijker is.
Veldman: “Stellingen uit de gangbare wiskunde kunnen op verschillende manieren intuītionistisch precies geformuleerd worden. Sommige versies kunnen waar blijken, andere versies onwaar, of er kan een versie tevoorschijn komen waarvan we niet weten of hij waar is of niet.” Vandaar dat er nog altijd wiskundigen zijn, die Brouwers intuïtionistische onderzoek voortzetten.

Hoewel Brouwer en Hilbert in de jaren twintig groot respect voor elkaars prestaties hadden, raakte de verhouding tussen de twee later ernstig verzuurd door Brouwers compromisloze intuïtionisme. Toen Hilbert hem in 1928 uit de redactie van het tijdschrift Mathematische Annalen zette (destijds de absolute wereldtop om in te publiceren), raakte Brouwer verbitterd en geïsoleerd. Ook zijn wiskundige productiviteit nam sterk af, zoals zo vaak bij oudere wiskundigen.

Mythevorming

Brouwer was een extreem eigenzinnig mens, over wie veel anekdotes en mythes de ronde deden. Meestal woonde hij in een vakantiehutje op een eigen stuk grond in Blaricum, met een coterie van vrouwelijke bewonderaars om zich heen. Daar liep hij soms spiernaakt rond, waar zijn metgezellen niet van op of om keken.

Naast de wiskunde, stak hij heel wat energie in de Signifische Kring, een genootschap van filosofen en schrijvers, waaronder Frederik van Eeden, dat beoogde de maatschappij totaal te hervormen. Dat ze met hun excentrieke taal- en levensfilosofie geen enkele weerklank vonden, noch bij de elite, noch bij het volk, schenen ze nauwelijks op te merken.

Brouwer was behalve streng wiskundige ook mysticus, wat hij niet als een tegenstelling zag. In zijn jonge jaren heeft haar daar zelfs een serie openbare lezingen over gegeven. Dit en nog veel meer is al in 2002 opgetekend door wiskundige Dirk van Dalen, in diens fascinerende biografie L.E.J. Brouwer, Het heldere licht van de wiskunde (daaruit komen ook de citaten van Brouwer in dit artikel).

Brouwers mystieke overtuigingen en zeker een deel van zijn maatschappijkritiek mogen we inmiddels wel achterhaald noemen. Hoe zit dat met zijn wiskunde? Veldman is er van overtuigd dat die nog steeds relevant is. Ook voor wiskundigen die geen specialist zijn in het intuïtionisme is die waardevol: “Je leert er grotere precisie van, ook als je je daarna geen zorgen meer maakt over die grondslagen. De kritiek van Brouwer is iets wat alle wiskundigen zich aan moeten trekken.”