0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 6, 0, 5....

“Het is één van mijn topfavorieten aller tijden”, zei Neil Sloane onlangs in The Britse krant The Guardian over het rijtje getallen van Ritsema van Eck. Sloane is onder wiskundigen zeer bekend omdat hij vijftig jaar geleden de OEIS heeft opgericht. Het is voor een wiskundige niet bijzonder moeilijk om een getallenrij in de database opgenomen te krijgen, want Sloan vindt het belangrijk dat deze zo volledig mogelijk is. Wiskundigen gebruiken deze namelijk om snel te checken of een wiskundige ergens anders op de wereld misschien aan hetzelfde onderwerp werkt, of hetzelfde resultaat gevonden heeft. Slechts een kleine minderheid van de kwart miljoen getallenrijen springen er echt uit, doordat het idee waarop ze gebaseerd zijn bijzonder origineel is.
Wanneer is een rij getallen interessant? Dat is eigenlijk een zeer filosofische vraag, maar om indruk te maken op wiskundigen moet er een originele, universeel geldige gedachte aan een rij ten grondslag liggen. Als je een lijst telefoonnummers van je vrienden zou insturen naar de OEIS zit daar weliswaar een heldere gedachte achter, maar toch komt die lijst niet in de database, omdat hij niets universeels heeft: iedereen heeft wat dat betreft zijn eigen lijstje. In principe moeten groene mannetjes op een verre planeet al die rijtjes ook kunnen ontdekken.

Ingewikkeld hoeft het idee erachter niet te zijn: ook 1,2,3,4,5,….. komt in de database voor, hij heeft nummer A000027. De meeste getalrijen op OEIS zijn eigenlijk oneindig lang, omdat ze recursief zijn: elke getal is volgens een bepaald recept te berekenen uit één of meer voorgaande getallen. Bij het eenvoudige rijtje 1,2,3,4,5….. is dat recept bijvoorbeeld: ‘elk getal is 1 groter dan zijn voorganger’.

Met het recept : ‘elk getal is de som van zijn twee voorgangers’ krijg je – met als startgetallen 1,1 – de welbekende Fibonacci-rij, 1,1,2,3,5,8,13,…… (A000045). De getallen in recursieve rijen hebben nogal de neiging om snel te groeien naarmate je verder komt. Het 35ste Fibonaccigetal, bijvoorbeeld, is al 9.227.465. Overigens zijn er ook niet-recursive rijen: bijvoorbeeld A000040, de rij priemgetallen 2,3,5,7,11,13,17,19,…(een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf). Ondanks verwoede pogingen, is het namelijk nooit gelukt om een recept te vinden waarmee je het volgende priemgetal kunt berekenen uit een of meer kleinere priemgetallen.

Langzaam groeiend

Jan Ritsema van Eck is van origine sociaal geograaf en werkt bij het Planbureau voor de Leefomgeving (PBL), dus als wiskundige is hij eigenlijk een amateur. “In 2010 las ik in een boek over getallen voor het eerst over de OEIS,” vertelt hij telefonisch. “Toen ik daar een tijdje rondgekeken had, wilde ik een recursieve rij bedenken die juist langzaam groeit. Toen kreeg ik ineens de ingeving dat de waarde van een getal in de rij niet hoeft af te hangen van de waarde van voorgaande getallen, maar kan afhangen van hun plaats in de rij.”

Bij het recept voor Van Ecks rij moet je wel even goed opletten, maar echte wiskunde hoef je er niet voor te kennen. De eerste twaalf getallen zijn:

0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 6, 0, 5, …

Het eerste getal is per definitie 0. Vervolgens is de regel: als het laatst toegevoegde getal nieuw is, zet je er een 0 achter. Is het laatst toegevoegde getal niet nieuw, dan tel je terug naar links tot je datzelfde getal tegenkomt. Het aantal stappen naar links is het volgende getal in de rij.

Stapsgewijs:
0 per definitie, 0 is nieuw -> voeg 0 toe:
0, 0 0 is niet nieuw, het is 1 stap terug tot de vorige 0 – > voeg 1 toe:
0,0,1 1 is nieuw -> voeg 0 toe:
0,0,1,0 0 is niet nieuw, het is 2 stappen terug tot de vorige 0 -> voeg 2 toe:
0,0,1,0,2 enz.

Neil Sloane, de oprichter en beheerder van OEIS, noemde dit Van Ecks rij – lang niet alle rijen krijgen de naam van hun bedenker – en was meteen enthousiast over A181391. Ritsema van Eck: “Ik was vereerd dat hij binnen een paar dagen per e-mail reageerde. Een van de vragen over deze rij was, of hij onbeperkt doorgroeit of een keer een maximum waarde bereikt. Ik had wel een paar ideeën hoe je kon bewijzen dat hij eeuwig doorgroeit. Gelukkig was daar alleen maar middelbare-schoolwiskunde voor nodig. “Daar ga ik over nadenken in het vliegtuig,” zei hij, en toen hij geland was, had hij een mooi strak bewijs.”

Inmiddels is ook bewezen dat de rij op oneindig veel plekken terugkeert naar 0, om daarna weer te stijgen. Maar het is bijvoorbeeld nog onbekend of elk geheel getal ooit een keer opduikt in de rij. Van Eck: “Blijkbaar is dat heel moeilijk te bewijzen, want in de afgelopen vier jaar heb ik nergens gezien dat iemand over die kwestie iets gepost heeft.” Onlangs waren zowel de OEIS als Sloane jarig (50, respectievelijk 75 jaar), en ter gelegenheid daarvan publiceerde de Britse krant The Guardian een interview met hem. Gevraagd naar de getallenrijen die hem van de afgelopen jaren het meest waren bijgebleven, noemde hij Ritsema Van Ecks rij als enige.

Heeft een database met een kwart miljoen getallenrijtjes ook enig nut? Voor wiskundigen zeker. Uit gecompliceerde berekeningen komt vaak een formule rollen, die je kunt omzetten in een rij getallen. Door een stuk of vijf begingetallen van die rij in te tikken op de website kun je snel checken of iemand anders met hetzelfde bezig is geweest, of misschien heeft iemand hetzelfde resultaat wel op een heel andere manier gevonden. Zo kan een rij getallen ineens een brug slaan tussen twee schijnbaar heel verschillende takken van wiskunde, wat in het verleden vaak tot een sprong vooruit in het onderzoek heeft geleid.